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2. Die Iterationen zn+1=zn2+c



Bisher sind als mögliche Attraktoren nur ∞ bzw. ein fester Wert (im vorangegangenen Beispiel 0) aufgetreten. Diese und auch andere Attraktoren findet man auch bei anderen Iterationen. Die folgenden Betrachtungen beziehen sich alle auf die Iterationsschar zn+1=zn2+c, wobei c eine Konstante mit einem komplexen Wert ist. Die mathematische Form lautet:
zn+1=zn2+c; c,z0∈C ; c=const.; n∈N0; n→∞
Eine beliebige Iteration aus dieser Iterationsschar unterscheidet sich von der Iteration zn+1=zn2 nur durch die Addition einer Konstante c bei jedem Iterationsschritt. Für den Fall c=0 sind beide Iterationen identisch.
Iterationsfolgen, die ∞ als Attraktor haben, sind bei dieser Iterationsschar leicht zu finden. Aber nicht immer ist ihr Verhalten so leicht zu erkennen wie bei dem Beispiel am Anfang mit c=0 und z0=2. Dies wird bei der Iterationsfolge 1 mit c=-0,12375+0,56508i und z0=0,57125 deutlich: 2

Iterationsfolge 1:
z0 = 0,57125+0i
z1 = 0,202576563+0,56508i
z2 =-0,402028143+0,794023928i
z3 =-0,59259737-0,0733599302i
z4 = 0,222039964+0,652025803i
z5 =-0,499585903+0,854631572i
z6 =-0,604559049-0,288843771i
z7 = 0,15831092+0,914326231i
z8 =-0,934680109+0,854575653i
z9 = 0,0195773607-1,03243973i
z10=-1,18927787+0,524655502i
z11= 1,01536847-0,682842359i
z12= 0,440949433-0,821593195i
z13=-0,604328976-0,159482107i
z14= 0,216028969+0,757839317i
z15=-0,651401915+0,892510492i
z16=-0,496000524-0,597686087i
z17=-0,23496214+1,15798523i
z18=-1,40947257+0,0209146277i
z19= 1,86242552+0,506122811i
z20= 3,08871851+2,45031208i
z21= 3,41240275+15,7017285i
z22=-235,023537+107,726323i
...

Behält man diesen c-Wert bei und verändert nur den z0-Wert in z0=0,5-0,5i, so konvergiert die Iterationsfolge gegen einen Punkt, den Attraktor. Dieses Verhalten zeigt Iterationsfolge 2.


Iterationsfolge 2:
z0 = 0,5-0,5i
z1 =-0,12375+0,06508i
z2 =-0,112671334+0,5489727i
z3 =-0,412426194+0,441373016i
z4 =-0,148464774+0,201012414i
z5 =-0,142114201+0,505393475i
z6 =-0,358976118+0,42143282i
z7 =-0,172491768+0,262511364i
z8 =-0,162908806+0,474517901i
z9 =-0,322377959+0,41047371i
z10 =-0,188311118+0,300424646i
z11 =-0.17854389+0,451933398i
z12 =-0,296115876+0,403700106i
z13 =-0,199039164+0,325995979i
z14 =-0,19040679+0,435308066i
z15 =-0,276988367+0,399308777i
z16 =-0,206474944+0,343872228i
z17 =-0,199366207+0,423078002i
z18 =-0,262998111+0,396385087i
...
z98 =-0,224994272+0,389717207i
z99 =-0,225007079+0,389711721i
...
z177=-0,22499955+0,38971059i
z178=-0,22499955+0,38971059i
...

Als Attraktor kommen aber auch mehrere Punkte in Frage. Dann springen die Werte einer Iterationsfolge nach mehreren Durchgängen zwischen diesen hin und her. Man spricht dann von einem periodischen Attraktor. Einen Attraktor der Periode 3 zeigt die Iterationsfolge 3 für c=-0,12+0,74i und z0=1-0,57i.

Iterationsfolge 3:
z0 = 1-0,57i
z1 = 0,5551-0,4i
z2 = 0,0281360104+0,29592i
z3 =-0,206777012+0,756652016i
z4 = 0,649765542+0,427083515i
z5 = 0,119794931+0,184991698i
z6 =-0,139871103+0,784322135i
z7 =-0,715597286+0,520591996i
z8 = 0,12106345-0,00506843953i
z9 =-0,15369633+0,738772794i
z10=-0,654682546+0,584312011i
z11=-0,0328112896-0,250777502i
z12=-0,119552313+0,741645667i
z13=-0,65574554+0,56266909i
z14=-0,00659429209+0,00206450222i
z15=-0,119960778+0,739972772i
z16=-0,653169115+0,562464582i
z17=-0,00973651227+0,00523101352i
z18=-0,119932564+0,7398981367i
z19=-0,653065432+0,562524239i
z20=-0,0099390604+0,0052697293i
...
z30=-0,119928706+0,739895215i
z31=-0,653062036+0,562530649i
z32=-0,00995070805+0,00526517793i
z33=-0,119928706+0,739895215i
z34=-0,653062036+0,562530649i
z35=-0,00995070805+0,00526517793i
...

Für die Höhe der Periode sind keine Grenzen gesetzt, nur sind die für die höherperiodischen Attraktoren benötigten c-Werte immer schwerer zu finden.
Aber nicht jede Iteration weisst einen Attraktor auf. Wählt man c=-0,39054-0,58679i und den in Iterationsfolge 4 angegebenen Startwert, so wird man ein scheinbar regelloses Hin- und Herspringen der Werte entdecken, wie in Iterationsfolge 4 zu sehen ist.

Iterationsfolge 4:
z0 = 0,5+0,6i
z1 =-0,50054+0,01321i
z2 =-0,140174212-0,600014267i
z3 =-0,730908311-0,418576945i
z4 =-0,0315197002+0,0250927364i
z5 =-0,390176154-0,588371831i
z6 =-0,58448398-0,127652684i
z7 =-0,0652136843-0,437568102i
z8 =-0,57775302-0,529719144i
z9 =-0,337343819+0,02530367i
z10=-0,277379423-0,603862073i
z11=-0,678250059-0,251792173i
z12= 0,0060838447-0,245233888i
z13=-0,450642646-0,58977393i
z14=-0,535294493-0,0552354311i
z15=-0,107050758-0,527655556i
z16=-0,657500521-0,473818145i
z17=-0,1827367+0,0362813547i
z18=-0,358463635-0,60004987i
z19=-0,622103669-0,156597885i
z20=-0,0280499225-0,391949763i
z21=-0,543377818-0,564801679i
z22=-0,414281483+0,0270114085i
z23=-0,219640469-0,609170652
z24=-0,713386945-0,319192944i
z25= 0,0164968024-0,131373839i
...

Eine grafische Darstellung zeigt aber, daß, ab einer bestimmten Anzahl von Iterationsschritten, sich alle diese Werte innerhalb von C auf einer Kreisbahn befinden.
Manche Iterationsfolgen zeigen selbst so keine klare Ordnung mehr.


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