Spezielle Berechnungen in der Mandelbrotmenge

5. Spezielle Berechnungen in der Mandelbrotmenge

5.1 Die Lage der Mandelbrotmenge in C

Was einem Betrachter beim Anblick der Mandelbrotmenge zuerst auffällt, ist wohl, außer deren komischer Form, daß sie offensichtlich symmetrisch zur Realachse ist. Mit anderen Worten: Die Vorschrift z_n+1=z_n²+c für z₀=0+0i behandelt die beiden c-Werte a+bi und a-bi, a∈R , b∈R₀⁺, i=√-1, anscheinend gleich. Der Grund dafür ist einfach. Nach der Vorschrift werden die c-Werte zuerst quadriert. Die Ergebnisse lauten dann folgendermaßen:
(a+bi)²=a²+2abi-b²=a²-b²+2abi (a-bi)²=a²-2abi-b²=a²-b²-2abi Danach wird zu diesen Ergebnissen der jeweilige c-Wert addiert:
a²-b²+2abi+a+bi=a²-b²+a+2abi+bi a²-b²-2abi+a-bi=a²-b²+a-2abi-bi Die beiden Realteile sind mit a²-b²+a dieselben und die Imaginärteile (2abi+bi und -2abi-bi) unterscheiden sich nur durch ihre Vorzeichen. Dies war auch schon bei den Ausgangswerten der Fall. Die weiteren Schritte gehen dann analog vor sich. Bei zwei solchen c-Werten unterscheiden sich zwei entsprechende z_n-Werte also nur durch das Vorzeichen ihres Imaginärteils, haben also denselben Betrag und somit dasselbe Verhalten. Dies führt zur x-Achsensymmetrie von M. Für die Juliamengen von a+bi und a-bi hat dies folgende Konsequenz: Sie sind spiegelbildlich zueinander. Dies gilt auch für einen eventuell in ihnen enthaltenen Attraktor, d.h. die Vorzeichen der Imaginärteile der Punkte, aus denen er besteht, werden umgedreht.
Ähnlich wie die Achsensymmetrie von M kann man die Punktsymmetrie der Juliamengen zum Ursprung zeigen. Es gibt jedoch auch Juliamengen, die sowohl zur Real- als auch zur Imaginärachse symmetrisch sind. Diese Juliamengen erhält man für reelle c-Werte. Ein Beispiel dafür sieht man im Bild 14 für c=-1,25 im Bereich -1,8<Re(z₀)<1,8; -1,8<Im(z₀)<1,8.

Bild 14
Dies ist eine parabolische Juliamenge, ihre Lage entnehme man Bild 9. Ein weiteres Beispiel ist in Bild 15 für c=-1 in etwa im selben Bereich zu sehen.

Bild 15
Diese Juliamenge weißt einen Attraktor der Periode 2 auf.

Aufgrund der Punktsymmetrie tritt bei den Juliamengen keine Verzerrung ihrer Gestalt in Richtung des positiven oder negativen Teils der Realachse auf. Wie man sieht, ist das bei M anders, hier wird sehr stark zwischen diesen beiden Richtungen unterschieden. Um dies zu begründen, wählt man als c-Werte die beiden komplexen Zahlen a+bi und -a+bi, a∈R₀⁺, b∈R , die sich nur durch das Vorzeichen ihres Realteiles unterscheiden. Dann setzt man wieder z₀=0+0i und erhält als z₂ (z₁=a+bi bzw. -a+bi):
( a+bi)²+a+bi=a²+2abi-b²+a+bi=a²-b²+a+2abi+bi (-a+bi)²-a+bi=a²-2abi-b²-a+bi=a²-b²-a-2abi+bi Sowohl die Real- als auch die Imaginärteile dieser beiden z₂-Werte sind unterschiedlich. Zuerst zum Imaginärteil:
Da a positiv ist, hat 2abi das Vorzeichen von b. 2abi wird also durch Addition von bi größer als -2abi durch Addition von bi. Also ist der Imaginärteil im ersten Fall größer als im zweiten (größer bezieht sich natürlich auf die Beträge der Zahlen). Ein größerer Imaginärteil wird jedoch eher dazu führen, daß die Werte gegen ∞ streben als ein kleinerer. Dieser Effekt wirkt sich für große b-Werte stärker aus, für b=0 fällt er völlig weg. Geht man also von einer anfangs y-achsensymmetrischen Mandelbrotmenge aus, so führt dieser Effekt zu einer Verschiebung von M in Richtung des negativen Realteils, die für c-Werte mit größerem Imaginärteil stärker wird und somit zu einer Verzerrung führt. Dies allein beschreibt jedoch M in keiner Weise. Also muß der Realteil auch eine große Rolle spielen.

Welcher von beiden Realteilen ist jedoch größer? Ist |a|>|b|, so ist a²-b²>0. Da a>0, ist in diesem Fall der Realteil des ersten z₂-Wertes größer als der des zweiten. D.h. c-Werte mit positivem Realteil, die näher an der x- als an der y-Achse liegen, streben eher gegen ∞, als c-Werte mit negativem Realteil und dieser Eigenschaft. Dieser Effekt wird wiederum stärker für |a|>>|b|, betrifft also vor allem jene c-Werte, die vom vorigen Effekt des Imaginärteils weniger betroffen waren; er zieht also diese c-Werte in Richtung des negativen Realteils nach. Außerdem tritt dieser Effekt besonders stark bei c-Werten, bei denen b nahe bei 0 ist, auf. Die beiden z₂-Werte kann man dann vereinfacht als a²+a und a²-a schreiben. Der hier schon deutlich sichtbare Größenunterschied verstärkt sich durch die weiteren Iterationsschritte und führt im ersten Fall wesentlich schneller zu einem Anwachsen. Die daraus hervorgehenden Folgen sind die auf der Realachse liegende Spitze bis -2 (∈M) und die Einschnürung bis 0,25 (¬∈M) der Mandelbrotmenge.
Für den Fall |a|<|b| tritt jedoch ein Effekt auf, der für c-Werte mit diesen Eigenschaften die Mandelbrotmenge wieder in Richtung des positiven Realteils zieht, da a²-b²<0; somit wird der Realteil von z₂ im zweiten Fall größer als im ersten. Dieser Effekt führt zu einer "Begradigung" der durch den Effekt des Imaginärteils ausgelösten Verzerrung von M für c-Werte mit großem Imaginärteil; er wird jedoch erst für sehr hohe Werte von b stark genug, um diese Verzerrung umzukehren. Eine Folge dieses Konfliktes kann man gerade noch mit bloßem Auge erkennen, auch wenn sie nicht sehr auffällig ist: die beiden großen Knospen der Periode 3 ober- und unterhalb des Hauptkörpers von M, die sich nahe der Imaginärachse befinden, sind etwas in Richtung des positiven Realteils abgeknickt.
Für den Fall |a|=|b| tritt schließlich für den Realteil kein solcher Effekt mehr ein.
All dies soll nur eine plausible Erklärung für die Form von M und keineswegs ein mathematischer Beweis sein.¹⁶

5.2 Die Berechnung besonderer Punkte in M

Der kritische Punkt 0+0i spielt anscheinend auch als Attraktor eine besondere Rolle für die Juliamengen und deren Lage in M. Bisher wies nur der Wert 0+0i selber diesen Punkt als Attraktor auf, jedoch gibt es in jedem Hauptkörper und in jeder Knospe der Grundstruktur oder eines Satelliten von M einen Punkt, bei dem 0+0i ein Teil des Attraktors der entsprechenden Juliamenge ist. Dieser Punkt liegt dann genau in der Mitte dieses Hauptkörpers bzw. dieser Knospe.¹⁷ (Die "Mitte" eines Hauptkörpers ist durch die vorher genannten Effekte ein gutes Stück von dessen "Schwerpunkt" entfernt, der Einfachheit halber wird diese Bezeichnung aber hier beibehalten. 0+0i ist also der Mittelpunkt des Hauptkörpers der Grundstruktur).
Eine solche Juliamenge sieht man für c=-1 in Bild 15 mit dem Attraktor S1=0; S2=-1.
Ein weiterer Teil des Attraktors ist dann selbstverständlich der c-Wert selber (z_n=0 => z_n+1=0²+c=c). Ähnliches beobachtet man bei der Juliamenge in Bild 2, die ziemlich nahe am Mittelpunkt einer Knospe liegt (Q1≈0; Q2≈c).
Es gibt eine sehr einfache Methode, diese Mittelpunkte zu finden. Sobald ein z_n-Wert 0 wird, ist die Iterationsfolge periodisch, da z_n+1=c=z₁; 0+0i ist dann Teil des Attraktors. Man muß also nur jene c-Werte bestimmen, für die z_n=0 gilt; n gibt dann die Periode des Attraktors an.
Für n=1 erhält man z₁=c und da z₁=0 gilt c=0. Es gibt also nur eine Juliamenge mit dem einzelnen Attraktor 0+0i, die Juliamenge für den Ursprung selber.
Für z₂=c²+c=0 erhält man für c die beiden Punkte 0 und -1. c=0 ist bereits vergeben (Wenn ein Wert nach jedem Iterationsschritt wieder erscheint, so erscheint er natürlich auch nach jedem zweiten wieder.), c=-1 ist der Mittelpunkt der größten Knospe von M. Da dies das einzige neue Ergebnis ist, ist diese Knospe die einzige mit Juliamengen, die einen Attraktor der Periode 2 besitzen.
Für z₃=(c²+c)²+c=c⁴+2c³+c²+c=0 erhält man für c die Werte 0; -1,7549 und -0,1226±0,7449i. c=-1,7549 ist der Mittelpunkt des Hauptkörpers des größten Satelliten von M, die beiden anderen c-Werte geben die Mittelpunkte der beiden Knospen mit Attraktoren der Periode 3 an; der Punkt c=-0,1226+0,7449i liegt nahe am c-Wert der Juliamenge von Bild 2.
Für n=4 erhält man außer den beiden c-Werten für n=2 noch die folgenden Werte: c=-1,3107, der Mittelpunkt der nächstgrößeren Knospe auf der x-Achse; c=-1,9408 aus einem Satelliten nahe der Spitze von M; c=0,282±0,530i sind die Mittelpunkte zweier am Hauptkörper der Grundstruktur anliegender Knospen. Die Punkte c=-0,1565±1,0323i liegen in den Mittelpunkten der Hauptkörper zweier Satelliten, einer davon ist auf Bild 12 zu sehen.
Die weiteren Punkte für höhere n kann man analog ausrechnen.

Dies sollte nur ein Beispiel sein, was man aus einer scheinbar einfachen Vorschrift wie z→z²+c alles herausholen kann. Selbstverständlich ließe sich über die Mandelbrotmenge und auch über die Juliamengen noch sehr viel mehr sagen, doch soll jetzt hier Schluß sein. Es drängt sich natürlich noch die Frage auf, was das alles soll. Was bringt uns die Mandelbrotmenge außer ein paar ganz hübschen Bildern? Wem das nicht reicht: Mandelbrotmengen von verschiedenen Funktionsscharen bieten eine genaue Möglichkeit der Ordnung und Katalogisierung entsprechender Juliamengen; Juliamengen jedoch verwendet man als Modelle für Phänomene aus verschiedenen Bereichen wie aus der Physik und aus der Biologie, die oft sehr gut die Wirklichkeit beschreiben. Die dafür hergenommenen Vorschriften sind zwar im Allgemeinen wesentlich komplizierter (für Modelle für den Phasenübergang von verschiedenen Materialien zum Magnetismus verwendet man unter anderem die Vorschrift x→[(x³+3(q-1)x+(q-1)(q-2))/(3x²+3(q-2)x+q²-3q+3)]²) ¹⁸, jedoch sind viele der Eigenschaften von Mandelbrot- und Juliamengen universell und werden deswegen an einfacheren Vorschriften erforscht. z→z²+c ist ein gutes Beispiel, da hier mit relativ geringem Aufwand schon eine große Strukturvielfalt entdeckt werden kann.

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