Komplexe und imaginäre Zahlen

Eine komplexe Zahl hat einen Realteil und einen Imaginärteil. Der erste ist eine reelle, der zweite ist eine imaginäre Zahl. Imaginäre Zahlen werden dargestellt als senkrecht zum Zahlenstrahl der reellen Zahlen liegend. Die Schreibweise für eine komplexe Zahl ist a + b i, wobei die imaginäre Einheit i gleich √ -1 ist.

Hier sind zwei Rechner, der erste zum Umwandeln von der kartesischen Form in die Polarform und Exponetialform. Der andere für die Grundrechenarten in der kartesischen Form.

Beispiel für die Umwandlung: -3-2i (Eingabe -3 und -2) führt zu den Ergebnissen ρ=3.606 und φ=-2.554. Damit lautet die Polarform 3.606 * ( cos -2.554 + i sin -2.554 ) und die Exponentialform 3.606 * e^-2.554i. Durch drücken auf "Rechnen Wert 1" oder "Rechnen Wert 2" wird der kartesiche Wert des ersten Rechners zum ersten beziehungsweise zweiten Wert des zweiten Rechners.

Beispiel für das Rechnen in kartesischer Form: (-5+8i) * (2-3i) = 14+31i. Wenn man auf "Ergebnis umwandeln" drückt, dann wird diese Zahl in den oberen Rechner eingegeben und liefert die Werte ρ=34.015 und φ=1.147.

Die Notwendigkeit für imaginäre und in deren Folge komplexe Zahlen ergab sich aus dem Wunsch, Ergebnisse für alle Wurzeln zu bekommen. Gerade Wurzeln aus negativen Zahlen haben im reellen Zahlenraum keine Lösung, also musste dieser entsprechend erweitert werden. Erste Ideen dazu kamen gegen Mitte des 16. Jahrhunderts auf, sie wurden schließlich im Jahr 1831 Carl Friedrich Gauß unter ihrem heutigen Namen eingeführt. Tatsächlich haben imaginäre Zahlen auch jenseits der reinen Vorstellung eine Bedeutung, sie liefern sinnvolle Ergebnisse für viele Teile der Physik.

Siehe auch Komplexe Potenzen