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Facharbeit: Die Fibonaccizahlen



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3. Die Kaninchenaufgabe

Die Fibonaccizahlen, die ich im vorhergehenden Kapitel näher erklärt habe, sind ursprünglich aus einem Rätsel entstanden. Denn zur Zeit des Leonardo da Pisa waren mathematische Wettkämpfe und Herausforderungen häufig.

Er nahm an einem Turnier in Pisa teil, das selbst von Friedrich II. angeordnet wurde. Die folgende Aufgabe sollte gelöst werden:
Man setzt ein neugeborenes Kaninchenpaar, ein Männchen und ein Weibchen, in einem Feld aus. Kaninchen sind nach einem Monat zeugungsfähig, so dass am Ende ihres zweiten Monats das Weibchen ein neues Kaninchenpaar gebären kann. Man geht davon aus, dass diese Kaninchen nicht sterben und dass jedes Weibchen jeden Monat vom zweiten Monat an immer ein weiteres Paar, bestehend aus einem Männchen und einem Weibchen, gebären wird.
Wieviele Paare werden es nach einem Jahr sein?

3.1. Lösungsmöglichkeit

Mathematische Darstellung:
Man stellt sich vor, dass es nach n Monaten 2n Kaninchenpaare gibt. Die Anzahl der Paare im Monat n+1 wird 2n+1 plus die Zahl der neugeborenen Paare sein. Allerdings werden neue Paare nur von ein Monate alten Paaren geboren, also werden 2n neue Paare vorhanden sein.

1. Am Ende des ersten Monats paaren sich ursprüngliche Männchen und Weibchen, aber es ist immer noch nur 1 Paar.
2. Am Ende des zweiten Monats gebiert das Weibchen ein neues Paar, demnach sind es nun 2 Kaninchenpaare in dem Feld.
3. Am Ende des dritten Monats gebiert das ältere Weibchen ein zweites Paar, was 3 Paare insgesamt machen.
4. Am Ende des vierten Monats gebiert das erste Weibchen ein weiteres neues Paar, das Weibchen, das zwei Monate zuvor geboren wurde "produziert" ihr erstes Paar, macht zusammen 5 Kaninchenpaare.

Das Kaninchenproblem ist nicht gerade sehr realistisch. Man könnte zum Beispiel annehmen, dass Brüder und Schwestern sich paaren, was, genetisch gesehen, zu Problemen führen würde. Dem kann man nur ausweichen, indem man sagt, dass das Weibchen eines jeden Paares sich mit irgendeinem Männchen paart um ein anderes Paar zu gebären.
Ein weiteres Problem, welches wiederum nicht lebensecht erscheint, ist die Geburt genau zweier Kaninchen, ein Männchen und ein Weibchen.

3.2. Dudeneys Kühe

H. E. Dudeney, der verschiedene hervorragende Rätselbücher geschrieben hat, passte die Fibonaccikaninchen den Kühen an. Er umging die bereits erwähnten Probleme, indem er feststellte, dass in Wirklichkeit nur die Anzahl der Weibchen interessant ist!
Er änderte in seinem Buch "536 Rätsel und sonderbare Probleme" Monate in Jahre, Kaninchen in Stiere (männlich) und Kühe (weiblich):
Wenn eine Kuh im Alter von zwei Jahren ihr erstes weibliches Kalb gebiert und danach jedes Jahr ein anderes weibliches Kalb, wieviele weibliche Kälber sind es nach zwölf Jahren, unter der Voraussetzung, dass keines von ihnen stirbt?
Das Ergebnis wäre 55 Kälber unter 144 Tieren.
Dies ist eine bessere Vereinfachung des Problems und nun völlig realistisch.
Aber Fibonacci tat das, was Mathematiker oft als erstes machen, sie vereinfachen das Problem und warten ab, was passiert - und die Reihe, die seinen Namen trägt hat eine Menge anderer interessanter und praktischer Verwendungen, wie man noch später sehen wird.

3.3. Die Bienen und die Fibonaccizahlen

Eine andere lebensnahe Situation, die genau nach der Fibonaccireihe geformt ist, sind die Bienen, deren Familienstammbaum die Fibonaccizahlen aufweist.
Zuerst einige ungewöhnliche Erscheinungen bei Bienen, denn nicht alle von ihnen haben zwei Elternteile:
Daraus ergibt sich, dass weibliche Bienen zwei Elternteile, ein Männchen und ein Weibchen haben und eine männliche Biene dagegen nur ein Elternteil, ein Weibchen, hat.
Wir betrachten den Familienstammbaum einer männlichen Arbeiterbiene genauer:
  1. Sie hat 1 Elternteil, ein Weibchen.
  2. Sie hat 2 Großeltern, ihre Mutter hat 2 Elternteile, ein Männchen und ein Weibchen
  3. Sie hat 3 Urgroßelternteile - ihre Großmutter hatte zwei Elternteile aber ihr Großvater hatte nur einen
Wieviele Ururgroßelternteile hatte sie?
Anzahl der Eltern Großeltern Urgroßerltern Ururgroßerltern Urururgroßerltern
Männliche Bienen 1 2 3 5 8
Weibliche Bienen 2 3 5 8 13
Man erkennt deutlich die Fibonaccizahlen.

Weiter: Der Goldene Schnitt


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