Facharbeit: Die Fibonaccizahlen

4. Der Goldene Schnitt

Lucas Paciolie (1445-1517) schrieb über den Goldenen Schnitt in seinem "Divina Proportione" (was soviel wie "göttliches Verhältnis" bedeutet).

Die Gerade AB ist durch den Punkt M so geteilt, dass das Verhältnis der zwei Teile, der kleinere zum größeren (AM und MB), das gleiche ist wie das Verhältnis des größeren Teils (MB) zur ganzen Strecke AB.
Wenn man annimmt, dass AB die Längeneinheit 1 hat, und man der Strecke AM die Länge x gibt, dann wird die oben angeführte Definition zu:
Das Verhältnis 1 - x zu x ist das gleiche wie das Verhältnis x zu 1
(1-x)/x = x/1 was vereinfacht wird zu x²+x-1=0
Man erhält zwei Werte für x. Der erste Wert ist negativ, wird deshalb hier nicht verwendet. Der zweite ist genau Phi (was dem Wert von 1,618033988749895 entspricht).
Diese Verhältnis wird der Goldene Schnitt genannt. Er wird normalerweise durch den griechischen Buchstaben Φ ausgedrckt. Tatsächlich haben die griechischen Mathematiker zu Platos Zeit (400 v.Chr.) ihn als bedeutenden Wert erkannt und griechische Architekten verwendeten das "perfekte" Verhältnis als einen wesentlichen Teil ihrer Konstruktionen, die bekannteste davon ist der auf der Parthenon in Athen. Er ist ein Tempel für die Göttin "Athena", erbaut um 430/440 v. Chr. Er ist aus einem Rechteck gebaut ist, das Φ mal so lang als breit ist. Seine Frontansicht wurde aus einem Goldenen Rechteck gebaut, es ist Phi mal so breit als hoch.
Man glaubte zur damaligen Zeit im Goldenen Schnitt das formale Geheimnis der Schönheit gefunden zu haben: In der Gliederung von Tempeln und Säulen, von Vasen und Skulpturen, ja selbst in der Konstruktion der Schiffe und Geschütze entdeckt man das klassische Schönheitsverhältnis.

Le Corbusier verwendete oft Goldene Rechtecke in seinen Gebäudeformen, die er entwarf. Eines davon ist das United Nation Gebäude in New York, das L-förmig ist. Der aufrechte Teil des "L"s hat Seiten im Goldenen Verhältnis und es gibt auffällige Zeichen auf seinem oberen Teil, die die Höhe im Goldenen Schnitt teilt.

Der Goldene Schnitt ist die "schlechteste" irrationale Zahl. Eine rationale Zahl lässt sich als Bruch schreiben, wobei Zähler und Nenner aus ganzen Zahlen bestehen. Bei irrationalen Zahlen zum Beispiel der Wurzel aus 2 ist das nicht möglich. Allerdings versucht man für diese Zahlen rationale zu finden, die nah an dem Wert der irrationalen Zahlen liegen.

Man wird sich jetzt fragen, wie die Fibonaccizahlen mit dem Goldenen Schnitt in Verbindung stehen. Die Antwort ist ziemlich simpel!
Man untersucht das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen. Es ist einfacher, wenn man die Verhältnisse in einem Graphen darstellt:

Aber nicht nur das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen ergibt den Goldenen Schnitt, sondern auch das anderer Zahlenreihen, wie zum Beispiel die Lucaszahlen. Im Gegensatz zu den Fibonaccizahlen beginnt diese Zahlenreihe mit 2 und 1, wird aber auf die gleiche Weise fortgesetzt: Durch Addition der zwei vorhergehenden Zahlen.

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