Facharbeit: Die Fibonaccizahlen

2. Die Fibonaccizahlen

Die Fibonaccizahlen werden als ein Teil der Zahlentheorie unterrichtet und sind im Gebrauch mathematischer Objekte genauso wie in Reihen, Permutationen und Folgen.
H. Hasse definiert die Zahlentheorie auf folgende Weise:
"Gegenstand der elementaren Zahlentheorie sind in erster Linie die natürlichen Zahlen 1 , 2 , 3 , .... . Nach Kronecker hat sie der liebe Gott geschaffen, nach Dedekind der menschliche Geist. Das ist je nach Weltanschauung ein unlösbarer Widerspruch oder ein und dasselbe. Für die Zahlentheorie ist es gleichgültig, wer die natürlichen Zahlen geschaffen hat. Sie stellt sich auf den Standpunkt, dass sie jedenfalls da und uns wohlbekannt sind."
Das unvergängliche Problem der Zahlentheorie ist das der Teilbarkeit. Ist eine Zahl durch eine andere teilbar oder nicht? Elementare Zahlentheorie wird auch Höhere Arithmetik genannt.
Gauss schrieb 1847 in seiner Vorrede zu Eisensteins "Mathematischen Abhandlungen":
"Die Höhere Arithmetik bietet einen unerschöpflichen Reichtum an interessanten Wahrheiten dar, und zwar an solchen, die nicht vereinzelt, sondern in innigem Zusammenhange stehen, und immer neue, ja unerwartete Verknüpfungen erkennen lassen, je weiter die Wissenschaft sich ausbildet."

2.1. Definition der Zahlen

Leonardo da Pisa ist vielleicht am bekanntesten durch eine einfache Reihe von Zahlen, die er in seinem ersten Werk "Liber Abbaci" vorstellt. Der französische Mathematiker Edouard Lucas (1842 - 1891) gab schließlich dieser Reihe den Namen "Fibonaccizahlen".
Mit den Fibonaccizahlen verbinden sich für uns Dynamik, Wachstum und kreatives Problemlösungspotential. Und ganz gleich, ob es sich um eine Populationsdynamik in der Biotechnologie oder das Umsatzverhalten in der Reaktionstechnik handelt, die Fibonaccizahlen sind auch dort stets eine recht gute Näherungslössung des Problems.
Die endlose Reihe beginnt mit 0 und 1. Danach geht es einfach weiter. Man addiert die letzten zwei Zahlen um die nächste zu erhalten:
0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21, 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , .....

Es zeigen sich unendliche Kreisläufe in der Fibonaccireihe:

Die letzte Ziffer der Zahlen 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 3 , 1 , 4 , ... wiederholt sich immer nach 60 Zahlen.
Die letzten zwei Ziffern der Zahlen 00 , 01 , 01 , 02 , 03 , 05 , 08 , 13 , ... wiederholen sich immer nach 300 Zahlen.
Die Länge des Kreislaufes der Wiederholung der letzten drei Ziffern beträgt 1500.
Die der letzten vier Ziffern beträgt 15000.
Die der letzten fünf Ziffern beträgt 150000.

und so weiter.

2.2. Teilbare Fibonaccizahlen

Benachbarte Fibonaccizahlen sind stets teilerfremd. Andernfalls hätten auch alle nachfolgenden Zahlen wie auch alle vorausgehenden denselben gemeinsamen Teiler, was nicht zutrifft.
(Anmerkung: F(1) = 1; F(2) = 1; F(3) = 2; F(4) = 3; F(5) = 5; ... etc.)
- Die geraden Fibonaccizahlen sind F(3); F(6); F(9); F(12); ... oder F(3k), also ist jede dritte Fibonaccizahl ein Vielfaches von 2.
- Die Fibonaccizahlen, die Vielfache von 3 sind, sind: F(4); F(8); F(12); F(16); ... oder F(4k), also ist jede vierte Fibonaccizahl ein Vielfaches von 3.
Daraus schließt man, dass
- jede fünfte Fibonaccizahl ein Vielfaches von F(5) = 5 ist.
- jede sechste Fibonaccizahl ein Vielfaches von F(6) = 8 ist.
Allgemein gilt hierfür:
Jede k-te Fibonaccizahl ist ein Vielfaches von F(k),
oder mathematisch ausgedrückt:
F(nk) ist ein Vielfaches von F(k) für alle Werte von n und k = 1, 2, ...

2.3. Die Fibonaccizahlen im Pascalschen Dreieck

Jede Zahl in dem oben angeführten Dreieck ist die Summe der zwei Zahlen links und rechts darüber. Ein Freiraum wird als "0" angesehen folglich beginnt jede Reihe mit 1.
Ein Pascalsches Dreieck schließt mehrere Verwendungen mit ein:
- Rechenwahrscheinlichkeiten
Wenn man n Münzen willkürlich auf einen Tisch wirft ist die Möglichkeit unter ihnen K Köpfe zu erhalten durch die Reihe N festgelegt:
Ein Beispiel für 3 Münzen, n = 3 also gebraucht man die Reihe 3:
3 Köpfe: K = 3 kommt 1 Mal vor (KKK)
2 Köpfe: K = 2 taucht auf 3 verschiedene Arten auf (KKZ, KZK, ZKK)
1 Kopf : K = 1 ist wiederum 3 Mal möglich (KZZ, ZKZ, ZZK)
0 Köpfe: K = 0 (das heißt alle Zahl) kommt nur 1 Mal vor (ZZZ)
- Terme in Binominalerweiterung: (a+b)ⁿ
zum Beispiel: (a+b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³

Wie aber findet man die Fibonacccizahlen in einem Pascalschen Dreieck?
Man fängt bei einer beliebigen 1 auf der linken Seite des Dreiecks an. Von dort geht man eins nach rechts und dann eins nach rechts unten. Den Wert dort addiert man zu der ersten 1. Nun geht man wieder eins nach rechts und dann eins nach rechts unten und addiert den dortigen Wert zum vorigen Ergebnis. Dies macht man so lange, bis man auf der anderen Seite des Dreiecks wieder herauskommt. Das Endergebnis ist eine Fibonacci-Zahl.
[Der kursive Teil wurde nachträglich ergänzt]

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