Facharbeit: Die Fibonaccizahlen

Facharbeit im Fach Mathematik, Welfen-Gymnasium Schongau, 2.2.1998, Susanne Berendt

Vorwort

"Fibonaccizahlen" - Die meisten, die diesen Ausdruck zum ersten Mal hören, wissen nicht was sie damit anfangen sollen. Mir ging es da am Anfang auch nicht anders. Da es sich bei diesen Zahlen nicht um einen gängigen Unterrichtsstoff in der Mathematik handelt, hatte ich einige Startschwierigkeiten. Nicht einmal die Staatsbibliothek in München konnte mir großartig weiterhelfen. Aber dank meines Mathematiklehrers und dem Internet-Café in der Herzogsmühle konnte ich genug Material sammeln, um diese Facharbeit zu schreiben.
Sie beruht zum größten Teil auf englischsprachigen Artikeln aus dem Internet. Ich hoffe, dass mir trotz meiner nicht sehr umfangreichen fachgebundenen Englischkenntnisse eine gute Üersetzung und Verarbeitung gelungen ist.

Einleitung

Das Thema dieser Facharbeit lautet: "Die Fibonaccizahlen". An dieser Stelle möchte ich gleich grob erklären, was man sich darunter vorzustellen hat:

0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 ....

Bei näherer Betrachtung dieser Fibonaccireihe wird man feststellen, dass jede Zahl die Summe ihrer zwei Vorgängerinnen ist.
Diese Zahlenreihe taucht immer wieder auf. Aber nicht nur wie ich erwartet habe in der Mathematik, sondern auch in Bereichen der Biologie - der Botanik, in Bereichen der Physik - der Astronomie und sogar in der Musik. Benannt wurden diese Zahlen nach dem italienischen Mathematiker Leonardo da Pisa, mit dem Spitznamen Fibonacci, der im zwölften/dreizehnten Jahrhundert lebte. Ich muss gestehen, dass mich dieses Thema anfangs nicht sehr interessierte, aber je intensiver ich mich mit diesen Zahlen beschäftigte, desto faszinierender fand ich sie.

1. Leonardo da Pisa

Leonardo da Pisa ist vielleicht nicht so bekannt wie Albert Einstein, aber er beeinflusste den Verlauf der Mathematik von damals bis heute gravierend. Auf sein Leben und auf die Geschichte der Mathematik zu dieser Zeit werde ich in diesem Kapitel näher eingehen.

1.1. Biographie

Da mir mehrere verschiedene Geburts- und Sterbedaten zur Verfügung stehen, habe ich mir das Recht genommen den Mittelwert hier anzubringen.
Leonardo da Pisa wurde 1175 in Pisa als Sohn des Gulielmo Bonacci geboren. Besser bekannt war er wohl unter seinem Spitznamen Fibonacci, kurz für filius Bonacci, was soviel wie Sohn des Bonacci bedeutet. Leonardo da Pisa gilt als erster bedeutender Mathematiker des ansonsten mit Vertretern dieser Wissenschaft nicht gerade reich gesegneten Mittelalters.
Sein Vater war ein Kaufmann und Minister der Republik Pisa. 1192 wurde ihm sogar die Leitung der Pisanischen Handelskolonie in Bougia, eine Küstenstadt Algeriens, übertragen. Einige Zeit später ließ Bonacci seinen Sohn nachkommen, damit dieser dort die Rechenkunst erlerne. In Bougia erhielt er Unterricht in den verschiedensten Rechentechniken, vor allem in denen die indisch-arabische Ziffern enthielten, die noch nicht in Europa bekannt waren. Während der kaufmännischen Geschäftsreisen für die Republik Pisa nach Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und in die Provence hatte Fibonacci die Möglichkeit die verschiedenen Varianten des Rechnens zu studieren, und er kam zu dem Schluss, dass alle Methoden der Indischen unterlegen waren - ja sie seien sogar als Irrwege zu bezeichnen. Um 1200 kehrte er nach Pisa zurück, wo er wenigstens die nächsten 25 Jahre an seinen eigenen mathematischen "Kompositionen" arbeitete. Die fünf Werke, die in dieser Zeit entstanden, sind:

"Liber Abbaci" (1202), was soviel, wie "Buch des Rechnens" bedeutet;
"Practica Geometrial"(1220/21);
ein undatierter Brief an Theodorus, der kaiserliche Philosoph am Hofe des Hohenstaufer Kaisers Friedrich der II.;
"Flos" (1225), eine Sammlung von Lösungen der Probleme, die in der Gegenwart Friedrich II. gestellt worden sind;
"Liber Quadratorum" (1225), ein Buch über die Zahlentheorie, das die Simultanlösung quadratischer Lösungen mit zwei oder mehr Variablen behandelt.

Das zuletzt angeführte Werk widmete Leonardo da Pisa Friedrich II., der sich sehr für die Mathematik interessierte. Sein Ruf als Mathematiker war mittlerweile so gross, dass er vom Kaiser, als dieser 1225 Pisa besuchte, zu einer Audienz eingeladen wurde.

1.2. Ein Mathematiker und Kaufmann

Bildung war sehr wichtig für die großen Kaufleute der damaligen Zeit, zu denen auch Fibonacci zählte. Lebensnotwendig waren die Beherrschung der Kulturtechniken Lesen, Schreiben und Rechnen, detaillierte geographische Kenntnisse, und Kenntnisse der Sprachen ihrer Handelspartner. Dazu ein sehr passendes Zitat von Le Goff: "Es ist nicht vergessen worden, dass der Horizont des christlichen Kaufmanns sehr viel weiter reichte als der vieler moderner Gelehrte, die über ihn gearbeitet haben." Diese Kaufleute, beziehungsweise die von ihnen weitgehend kontrollierten Städte, begannen seit dem zwölften Jahrhundert Schulen einzurichten, die den elementaren Bedürfnissen der Kaufleute Rechnung trugen.
Nicht erst die Renaissance hat die Antike wiederentdeckt, es hat vielmehr schon im zwölften und dreizehnten Jahrhundert eine Wiedergeburt antiker Bildung gegeben, welche ein Aufblühen der Wissenschaft zur Folge hatte, die auf dem antiken Fundament kräftig weiterbaute. Leonardo da Pisa gilt mit seinen Büchern und hier insbesondere dem "Liber Abbaci"" zu den Bauleuten des Hauses, an dem wir immer noch weiterbauen.
In eben diesem "Liber Abbaci" schrieb er seine Kenntnisse, die er sich auf seinen Reisen aneignete, nieder. Er stellte der latein-sprechenden Welt das Dezimalzahlensystem, das noch heute gilt, mit den neun indisch-arabischen Ziffern, vor. Das erste Kapitel beginnt folgendermaßen: "Dies sind die neun indischen Ziffern

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Mit diesen neun Zahlen und dem Zeichen 0, welches auf arabisch Zephrium heißt, kann jede beliebige Zahl geschrieben werden."
Damit ersetzte Fibonacci die römischen Zahlen.
Nach 1228 ist nichts mehr von seinem Leben überliefert, außer, dass durch Erlass der Republik Pisa dem "'ernsten und gelehrten Master L. Bigollo'(discretus et sapius) ein jährliches Gehalt verliehen wurde und zwar 'libre XX denarioren' zusätzlich zu der allgemeinen finanziellen Unterstützung." Dieses Gehalt belohnte Fibonacci für seinen Rat an die Republik Pisa bei Angelegenheiten, die die Buchführung und andere mathematische Angelegenheiten betrafen.
Er starb um 1250 in Pisa, wo man noch heute eine Statue zu seinem Gedenken auf dem Friedhof neben der Kathedrale betrachten kann.

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