Facharbeit: Die Fibonaccizahlen

Die Fibonaccizahlen in der Geometrie

In der Mathematik werden Strukturen und Beziehungen untersucht - beim Betrachten der spiralförmigen Struktur einer Sonnenblume, der Verteilung von Sternen, Gas- und Staubwolken in einer Sternengalaxie oder der komplizierten Symmetrie alter Töpferwaren.
Mathematiker suchen instinktiv nach geometrischen oder numerischen Mustern und nach Symmetrie.
Schon die alten Griechen erreichten mit Hilfe der Geometrie bereits schier unmöglich erscheinende Messungen - angefangen von der Bestimmung des Kreisumfangs bis zur überraschend exakten Bohrung gerader Tunnel.
Vielleicht hat kein anderes Gebiet die Menschheit über Jahrhunderte so gefesselt wie die Geometrie. Wir beobachten Symmetrie und Muster in der Natur und versuchen, die dahinter stehende Ordnung und Schönheit zu verstehen.

5.1. Symmetrie

Die Spiralen zum Beispiel einer Sonnenblume oder ein spiralenförmiges Wachstum von Blättern um einen Stengel zeigen einen Aspekt der Symmetrie auf - die Regelmäßigkeit. Spiralen sind zwar regelmäßig, aber keinesfalls gleichmäßig; sie scheinen sich zu drehen oder zumindest im nächsten Moment damit beginnen zu wollen. Gleichmäßige Symmetrie findet man eher bei Dingen, die vom Menschen gemacht werden (bei Töpferwaren und Tapeten oder in der Architektur).
In der Mathematik werden die vielfältigen Arten der Gleichmäßigkeit mit Hilfe des geometrischen Begriff der Bewegung - oder Isometrie - beschrieben, was so viel wie "von gleichem Maß" heißt. Eine Bewegung ist eine Transformation der Ebene (oder des Raumes), bei der das ursprüngliche Objekt und sein Bild deckungsgleich oder spiegelbildlich zueinander sind. Es gibt vier verschiedene Arten von Bewegungen in der Ebene, die diese Kongruenz aufweisen:

• Spiegelung an einer Geraden, so dass das Spiegelbild des Objekts entsteht. Man spricht von bilateraler Symmetrie, weil eine so entstandene Figur durch die Spiegelgerade geteilt wird und sich die beiden Hälften wie Spiegelbilder verhalten.
• Drehung oder Rotation. Eine Figur besitzt Rotationssymmetrie, wenn sie ein Zentrum hat, um das die Figur um einen gewissen Winkel gedreht werden kann, ohne dass ihre Gestalt sich verändert.
• Verschiebung oder Translation, die das Objekt in einer gewissen Richtung um einen gewissen Betrag verschiebt. Nur unendlich ausgedehnte Figuren können verschoben werden, ohne ihr Aussehen zu verändern.
• Schiebespiegelung, besteht aus einer Translation um eine gewisse Entfernung entlang einer Geraden; gefolgt von einer Spiegelung an dieser Geraden.

Phi kommt auch überraschend oft in der Geometrie vor. Da wäre zum Beispiel das Verhältnis der Seiten eines Pentagon zu ihren Diagonalen. Wenn man darin alle Diagonalen einzeichnet, so schneiden sich diese untereinander genauso im Goldenen Schnitt. Das daraus entstandene Pentagramm zeigt einen Stern, der in vielen Flaggen der Welt enthalten ist.

5.2. Spiralen in der Natur

Die Natur ist überreich an Mustern. So wissen Botaniker schon lange, dass in natürlichen Spiralen immer wieder spezielle Zahlen vorkommen, sei es nun bei der spiraligen Blattanlage um einen Pflanzenstengel, den Spiralen auf der Oberfläche von Tannenzapfen oder Ananasfrüchten und der Anordnung der Einzelblüten auf dem Blütenboden eines Korbblütlers, wie dem Gänseblümchen. Es handelt sich dabei um die Fibonaccizahlen.
Die Samen der Sonnenblume und die aufeinanderfolgenden Kammern im Gehäuse eines Nautilus liegen gleichsam auf einer langen Wachstumsspirale.

Man kann bei der Sonnenblume zwei Arten von Spiralen erkennen, die im, beziehungsweise gegen den Uhrzeigersinn verlaufen, mit dem Ergebnis, wenn man sie zählen würde, zweier benachbarter Fibonaccizahlen. Das gleiche geschieht in wirklichen Samenköpfen in der Natur. Der Grund dafür scheint, dass die Samen eine optimale Platzeinteilung der Samen formen, so dass unabhängig von der Samenkopfgröße, sie gleichmäßig aufgeteilt sind. Alle Samen sind gleich groß, in der Mitte sind sie nicht zu dicht gedrängt und an den Rändern nicht zu spärlich verteilt. Man findet in der Anzahl der Blütenblätter oder in der Spirale der Samenköpfe etc. nicht immer Fibonaccizahlen; obwohl sie sich diesen oft annähern.
Dieser Mustertyp wird eine Fibonaccispirale genannt, weil die Mathematik die dafür verwendet wird mit einer Fibonaccireihe verbunden ist.

5.2.1. Festgelegtes Verhältnis in Spiralen

Bei jeder konzentrischen Schicht einer Fibonaccispirale ist das Verhältnis eines Einzelbestandteils zu einem von der nächstinneren Schicht eine Konstante, die entsprechend der Anzahl der strahlenförmig symmetrischen Teile der Spirale variiert. Dies macht die zunehmende Reihe der Schichten zu einer Fibonaccireihe: Jede ist eine bestimmte Linearkombination der vorhergehenden. Es scheint, dass jede anwachsende Schicht eines Organismus sich in einer bestimmten ausgedehnten Version eine Schicht weiter außen wiedergeben muss. Folglich ist das Fibonaccimuster garantiert.

5.2.2. Fibonaccizahlen in verzweigten Pflanzen

Eine Pflanze zeigt vor allem die Fibonaccireihe in der Anzahl ihrer "Verzweigungspunkte". Man nimmt an, dass eine Pflanze einen neuen Trieb hervorbringt, der zwei Monate wachsen muss bevor er stark genug ist die Verzweigung zu unterstützen.
Eine Pflanze, die ähnlich diesem Muster wächst wäre die Achillea Ptarmica.

5.2.3. Blütenblätter und Blumen

Bei vielen Pflanzen beträgt die Anzahl ihrer Bltenblätter eine Fibonaccizahl:

• Butterblumen haben 5 Blütenblätter,
• Lilien und Iris haben 3 Blütenblätter,
• Rittersporn hat 8 Blütenblätter,
• Ringelblumen haben 13 Blütenblätter,
• einige Astern haben 21 Blütenblätter,
• Gänseblümchen können mit 34, 55 oder 89 Blütenblätter gefunden werden.

Tannenzapfen zeigen die Fibonaccispiralen sehr deutlich. Hier ist ein Bild eines Tannenzapfens von seiner Basis aus gesehen und eines mit den herausgestellten Spiralen:

5.3. Blätteranordnungen

Viele Pflanzen zeigen die Fibonaccizahlen in den Anordnungen der Blätter rund um deren Stengel. Wenn man von oben eine Pflanze betrachtet, bemerkt man, dass die Blätter oft so angeordnet sind, dass die oberen die darunterliegenden nicht verstecken. Das bedeutet, dass jedes Blatt einen guten Anteil von Sonnenlicht erhält, und dass es den meisten Regen abfängt, um ihn durch die Blätter und Stengel zu den Wurzeln zu leiten.
Die Fibonaccizahlen zeigen sich, wenn man einmal die Anzahl der Umläufe zählt, die man um einen Stengel herum geht, von Blatt zu Blatt, und ebenso die dazwischenliegenden Blätter, bis man auf ein Blatt trifft, das direkt über dem liegt, bei dem man angefangen hat.
Falls man in die andere Richtung zu zählen beginnt, erhält man eine andere Spiralenanzahl für die gleiche Anzahl der Blätter. Die Anzahl der Spiralen in jede Richtung und die Anzahl der dabei angetroffenen Blätter sind drei aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen.

Auch die Stacheln der Kakteen weisen die gleichen Spiralen auf, wie man schon bei den Tannenzapfen, den Blütenblättern und den Blätteranordnungen sehen konnte, allerdings sind sie besser sichtbar.

Warum tauchen der Goldene Schnitt und die Fibonaccizahlen in der Natur auf?
Der Grund dafür scheint der gleiche zu sein wie für die Anordnungen der Samen und der Blütenblätter. Alle sind in 0.618034... Objekte (Blätter, Blütenblätter, Samen) pro Umdrehung in eine Richtung oder in 1- 0.618034... Objekte pro Umdrehung in die andere Richtung angeordnet. Wenn es Phi (1.618...) Samen (Blätter oder Blütenblätter) pro Umdrehung (oder entsprechend phi = 0.618... Umdrehungen pro Samen, Blatt oder Blütenblatt etc.) gibt, dann haben sie die bestmöliche Anordnung um das Sonnenlicht optimal auszunutzen. Dadurch wird es ihnen auch ermöglicht die optimalste Menge an Regen aufzunehmen, um ihn dann direkt, entlang des Blattes und durch den Stengel, den Wurzeln zuzuführen.
Die ganze Pflanze scheint aus diesen Fibonaccimustern aufgebaut zu sein.

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