Die Mandelbrotmenge

4. Die Mandelbrotmenge

Welches Kriterium entscheidet, ob die Juliamenge für einen bestimmten c-Wert zusammenhängt oder zerbrochen ist? Aufschluß darüber gibt das Verhalten kritischer Punkte. Ein Punkt z₀ ist ein kritischer Punkt einer Funktion z→f(z), wenn gilt f '(z₀)=0.⁷ Für die Funktionsschar f(z)=z²+c ist der einzige kritische Punkt 0+0i. Liegt dieser Punkt innerhalb einer Juliamenge, so ist die Juliamenge zusammenhängend. Ansonsten ist sie zerbrochen. Betrachtet man sich also die Lage der c-Werte in der komplexen Ebene, die für z₀=0+0i durch die Iteration z_n+1=z_n²+c nicht gegen ∞ streben, so erhält man die Menge von c-Werten für geschlossene Juliamengen. Diese Menge heißt nach ihrem Entdecker Benoit B. Mandelbrot Mandelbrotmenge (M) und wird auch wegen ihres Aussehens Apfelmännchen genannt.⁸

Es gibt für diese Iterationsschar unendlich viele Juliamengen, aber nur eine Mandelbrotmenge! Auch für andere Iterationsscharen treten Mandelbrotmengen auf, die folgenden Betrachtungen beziehen sich aber, soweit nicht anders angegeben, weiterhin nur auf die für z_n+1=z_n²+c. Diese Mandelbrotmenge sieht man in Bild 7.

Bild 7
Der Bereich, aus dem die c-Werte stammen, ist auf der x- und y-Achse im Bild eingetragen. Der vom Ursprung am weitesten entfernte Punkt vom M ist -2. Daß die Mandelbrotmenge hier vollkommen schwarz dargestellt ist, liegt nicht wie beim Fatou-Staub daran, daß sie aus isolierten Punkten besteht; es wurde einfach nicht nur die Grenzlinie, sondern auch das Grenzinnere eingefärbt.
Diese Mandelbrotmenge ist, wie die Juliamengen mit c-Werten, die ihr angehören, zusammenhängend und enthält keine isolierten Punkte oder Gebiete, wie Adrien Douady und John Hubbard, zwei Forscher auf diesem Gebiet, bewiesen.⁹ Dies erscheint einleuchtend, ist aber nicht zwingend. Es gibt andere Mandelbrotmengen, für die das nicht mehr der Fall ist. Tatsächlich wird man auf einigen Bildern dieser Mandelbrotmenge und vor allem auf Vergrößerungen von ihrem Randbereich einige anscheinend isolierte Gebiete entdecken. Diese sind aber mit dem Hauptteil der Menge durch feine Verästelungen, sogenannte Antennen, verbunden, die der Computer nicht darstellt, da sie zu dünn sind. Dies ist auf Bild 8 zu sehen, die c-Werte dieses Bildes stammen aus dem Bereich -0,713<Re(c)<-0,4082; 0,49216<Im(c)<0,71429.

Bild 8
Die schwarzen Gebiete in diesem Bild gehören zu M, aber was ist mit den Gebieten außerhalb der Mandelbrotmenge? Offensichtlich wird auch zwischen ihnen unterschieden und diese Unterschiede werden durch verschiedene Farben dargestellt.
Haben zwei Punkte außerhalb von M dieselbe Farbe, so haben sie denselben dynamischen Abstand von der Grenze von M.¹⁰ Das heißt, bei ihnen wird nach derselben Anzahl von Iterationen ihr Verhalten erkannt, nämlich ihr Streben Richtung ∞. Dies wirft eine Frage auf, die sich der aufmerksame Leser vielleicht schon zu Beginn von Kapitel 3 gestellt hat: Wie merkt der Computer, ob ein Wert gegen ∞ strebt oder nicht? Wird ein z_n-Wert bei der Mandelbrotmenge größer als 2 bzw. bei Juliamengen größer als |c|+2, so kann bewiesen werden, daß die weiteren Werte der Iterationsfolge mit jedem Schritt wachsen.¹¹ Der Computer überprüft dies nach jedem Schritt. Stößt er beim Berechnen von M auf einen z_n-Wert, für den |z_n|>2 gilt, so bricht er ab und färbt den Punkt entsprechend der bis dahin erreichten Iterarionsschritte ein. Ist der Wert nach der vorgegebenen Anzahl von Iterationen nicht größer als 2, zeichnet er den Punkt schwarz. Die vorher gewählten Darstellungen von Juliamengen funktionierten etwas anders, was aber nichts an der dahintersteckenden Mathematik ändert, weshalb hier auch nicht näher darauf eingegangen wird.

Liegt eine Juliamenge bzw. der dazugehörige c-Wert innerhalb von M, so existieren, wie vorher schon angesprochen, interessante und einfache Zusammenhänge zwischen dem Aussehen der Juliamenge und ihrer Lage in M.¹² Bild 9 zeigt die Mandelbrotmenge, in der die Position der bisher gezeigten und später noch auftretenden Juliamengen eingetragen ist.

Bild 9
Die Nummern entsprechen den Nummern ihrer Bilder.

Besteht die Grenze der Juliamenge wie in Bild 1 nur aus einem mehr oder weniger deformierten Kreis, so stammt sie aus dem Hauptkörper von M. Dies ist der große, schwarze Bereich in Bild 7 ohne die Knospen, wie die beiden großen oben und unten und die links der ersten Einschnürung, die auf der Realachse bei ca. -0,75 liegt.
Juliamengen, die aus den Knospen stammen, weisen einen periodischen Attraktor auf, stammen sie aus der gleichen Knospe, so haben sie einen Attraktor der gleichen Länge. Die Juliamenge aus Bild 2 zum Beispiel stammt aus der großen Knospe oberhalb des Hauptkörpers.
Es besteht ein Zusammenhang zwischen der Größe einer Knospe und der Länge der Periode des Attraktors. Vereinfacht kann man sagen: je kleiner die Knospe, desto länger ist die Periode. Bereits in Bild 7 kann man am Ende von manchen Knospen Antennen erkennen, die eine Hand mit einer unterschiedlichen Anzahl von Fingern bilden. Die großen Knospen ober- und unterhalb des Hauptkörpers haben, wie man leicht sieht, zwei Finger, bei der Knospe in Bild 8 entdeckt man vier. Die Anzahl der Finger einer Knospe plus eins gibt die Länge der Periode eines Attraktors einer Juliamenge aus dieser Knospe an.¹³ Juliamengen aus den beiden großen Knospen ober- und unterhalb des Hauptkörpers weisen einen Attraktor der Periode 3 auf, die aus der größten Knospe links des Hauptkörpers einen Attraktor der Periode 2. Die in Bild 8 gezeigte Knospe enthält Juliamengen mit einem Attraktor der Periode 5. Auf jeder Knospe sitzen wieder unendlich viele andere Knospen. Die größte von diesen befindet sich immer in gegenüberliegender Richtung als der Ansatzpunkt der Knospe, auf der sie sitzt. In dieser trifft man auf die doppelte Periodenlänge des Attraktors als in jener Knospe. Bei den anderen Knospen neben dieser vergrößert sich die Periode entsprechend stärker. Eine Juliamenge, die aus der selben Knospe stammt, wie die in Bild 2 gezeigte, sieht man in Bild 10 für c=-0,11+0,6557i im Bereich -1,5<Re(z₀)<1,5; -1,5<Im(z₀)<1,5.

Bild 10
Auch sie weist einen Attraktor der Periode 3 auf und eine gewisse Ähnlichkeit zwischen diesen beiden Juliamengen ist nicht zu übersehen.

Parabolische Juliamengen, wie die in Bild 3 gezeigte, finden sich, wie man sich aus dem vorher gesagten leicht denken kann, am Ansatz jeder beliebigen Knospe. Dort bilden sie einen relativ dünnen Streifen zwischen der Knospe und dem Hauptkörper bzw. einer anderen Knospe. Eine geringe Änderung von c, die von diesem Streifen wegführt, erzeugt somit eine der beiden oben genannten Juliamengen.

Die in Bild 5 dargestellte Juliamenge, ein Dendrit, erinnert an die bereits erwähnten Antennen von M und tatsächlich sind alle Juliamengen mit c-Werten aus diesen Antennen Dendriten.

Schließlich erhält man für c-Werte aus dem Randbereich von M, die nicht auf den Antennen liegen, Juliamengen mit einer Siegel-Disk.

Daß die zerbrochenen Juliamengen aus dem Bereich außerhalb von M stammen, ist bereits bekannt. Bleibt nur noch anzumerken, daß, je weiter der entsprechende c-Wert von M entfernt ist, desto feiner und aufgelöster die Juliamenge erscheint. In einiger Entfernung von M ist schließlich nichts mehr von ihr zu sehen, d.h. der Computer entdeckt keine Punkte mehr, die nicht gegen ∞ streben.¹⁴

Eine besondere Art von Juliamengen wurde noch nicht erwähnt. Dazu muß aber erst noch einmal auf die Struktur der Mandelbrotmenge zurückgegriffen werden. In Bild 8 sind kleine, von der Mandelbrotmenge anscheinend isolierte Gebiete zu sehen, die mit ihr aber durch Antennen verbunden sind. Vergrößert man diese Gebiete, so erlebt man eine Überraschung: Sie sehen exakt wie die Grundstruktur von M aus, mal abgesehen von den zu lang geratenen Antennen, von denen sie aufgespießt werden.¹⁵ Ein solcher Satellit wird in Bild 12 im Bereich -0,19920<Re(c)<-0,12954; 1,01480<Im(c)<1,06707 gezeigt.
Das Bild wurde aus M in dem in Bild 11 umrahmten Bereich vergrößert.

Bild 11

Bild 12

Auch die anscheinend isolierten Gebiete in Bild 8 sind solche Satelliten, die ebenfalls einen Hauptkörper und unendlich viele Knospen besitzen. Tatsächlich gibt es auf jeder Antenne unendlich viele von ihnen und es gibt ja auch unendlich viele Antennen! Zwischen einem dieser Satelliten und einem nächst kleineren neben diesem auf derselben Antenne liegt stets noch einer, der kleiner ist als die beiden vorigen. Zwischen diesem und einem der beiden vorigen findet man wieder einen nächst kleineren usw.
Wie sieht aber eine Juliamenge aus einem Satelliten aus? Die Juliamenge in Bild 13 für c=-0,15652+1,03225i im Bereich -1,7<Re(z₀)<1,7; -1,7<Im(z₀)<1,7 wurde aus dem Satelliten in Bild 12 gewählt.

Bild 13
Man erkennt dort einen Dendrit, von dem anscheinend verschieden große, aber sonst gleichartige, andere Juliamengen aufgespießt werden. Diese haben auf dem Dendrit in etwa dieselbe Anordnung wie die Satelliten von M auf einer Antenne. Es sind also unendlich viele. Da ein Satellit eine Kopie der Grundstruktur von M ist, kann man einem c-Wert aus einem Satelliten den korrespondierenden c-Wert aus eben dieser zuordnen. Die Juliamenge dieses korrespondierenden c-Wertes entspricht den von dem Dendrit aufgespießten Juliamengen des vorangegangenen.

Somit wäre die Bedeutung der Mandelbrotmenge als "Landkarte" für die Juliamengen geklärt. Im Folgenden wird noch auf einige Eigenschaften von M und auf deren Bedeutungen für die Juliamengen eingegangen.

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