Iterationen

2. Die Iterationen z_n+1=z_n²+c

Bisher sind als mögliche Attraktoren nur ∞ bzw. ein fester Wert (im vorangegangenen Beispiel 0) aufgetreten. Diese und auch andere Attraktoren findet man auch bei anderen Iterationen. Die folgenden Betrachtungen beziehen sich alle auf die Iterationsschar z_n+1=z_n²+c, wobei c eine Konstante mit einem komplexen Wert ist. Die mathematische Form lautet:
z_n+1=z_n²+c; c,z₀∈C ; c=const.; n∈N₀; n→∞
Eine beliebige Iteration aus dieser Iterationsschar unterscheidet sich von der Iteration z_n+1=z_n² nur durch die Addition einer Konstante c bei jedem Iterationsschritt. Für den Fall c=0 sind beide Iterationen identisch.
Iterationsfolgen, die ∞ als Attraktor haben, sind bei dieser Iterationsschar leicht zu finden. Aber nicht immer ist ihr Verhalten so leicht zu erkennen wie bei dem Beispiel am Anfang mit c=0 und z₀=2. Dies wird bei der Iterationsfolge 1 mit c=-0,12375+0,56508i und z₀=0,57125 deutlich: ²

Iterationsfolge 1:
z₀ = 0,57125+0i z₁ = 0,202576563+0,56508i z₂ =-0,402028143+0,794023928i z₃ =-0,59259737-0,0733599302i z₄ = 0,222039964+0,652025803i z₅ =-0,499585903+0,854631572i z₆ =-0,604559049-0,288843771i z₇ = 0,15831092+0,914326231i z₈ =-0,934680109+0,854575653i z₉ = 0,0195773607-1,03243973i z₁₀=-1,18927787+0,524655502i z₁₁= 1,01536847-0,682842359i z₁₂= 0,440949433-0,821593195i z₁₃=-0,604328976-0,159482107i z₁₄= 0,216028969+0,757839317i z₁₅=-0,651401915+0,892510492i z₁₆=-0,496000524-0,597686087i z₁₇=-0,23496214+1,15798523i z₁₈=-1,40947257+0,0209146277i z₁₉= 1,86242552+0,506122811i z₂₀= 3,08871851+2,45031208i z₂₁= 3,41240275+15,7017285i z₂₂=-235,023537+107,726323i ... Behält man diesen c-Wert bei und verändert nur den z₀-Wert in z₀=0,5-0,5i, so konvergiert die Iterationsfolge gegen einen Punkt, den Attraktor. Dieses Verhalten zeigt Iterationsfolge 2.

Iterationsfolge 2:
z₀ = 0,5-0,5i z₁ =-0,12375+0,06508i z₂ =-0,112671334+0,5489727i z₃ =-0,412426194+0,441373016i z₄ =-0,148464774+0,201012414i z₅ =-0,142114201+0,505393475i z₆ =-0,358976118+0,42143282i z₇ =-0,172491768+0,262511364i z₈ =-0,162908806+0,474517901i z₉ =-0,322377959+0,41047371i z₁₀ =-0,188311118+0,300424646i z₁₁ =-0.17854389+0,451933398i z₁₂ =-0,296115876+0,403700106i z₁₃ =-0,199039164+0,325995979i z₁₄ =-0,19040679+0,435308066i z₁₅ =-0,276988367+0,399308777i z₁₆ =-0,206474944+0,343872228i z₁₇ =-0,199366207+0,423078002i z₁₈ =-0,262998111+0,396385087i ... z₉₈ =-0,224994272+0,389717207i z₉₉ =-0,225007079+0,389711721i ... z₁₇₇=-0,22499955+0,38971059i z₁₇₈=-0,22499955+0,38971059i ... Als Attraktor kommen aber auch mehrere Punkte in Frage. Dann springen die Werte einer Iterationsfolge nach mehreren Durchgängen zwischen diesen hin und her. Man spricht dann von einem periodischen Attraktor. Einen Attraktor der Periode 3 zeigt die Iterationsfolge 3 für c=-0,12+0,74i und z₀=1-0,57i.

Iterationsfolge 3:
z₀ = 1-0,57i z₁ = 0,5551-0,4i z₂ = 0,0281360104+0,29592i z₃ =-0,206777012+0,756652016i z₄ = 0,649765542+0,427083515i z₅ = 0,119794931+0,184991698i z₆ =-0,139871103+0,784322135i z₇ =-0,715597286+0,520591996i z₈ = 0,12106345-0,00506843953i z₉ =-0,15369633+0,738772794i z₁₀=-0,654682546+0,584312011i z₁₁=-0,0328112896-0,250777502i z₁₂=-0,119552313+0,741645667i z₁₃=-0,65574554+0,56266909i z₁₄=-0,00659429209+0,00206450222i z₁₅=-0,119960778+0,739972772i z₁₆=-0,653169115+0,562464582i z₁₇=-0,00973651227+0,00523101352i z₁₈=-0,119932564+0,7398981367i z₁₉=-0,653065432+0,562524239i z₂₀=-0,0099390604+0,0052697293i ... z₃₀=-0,119928706+0,739895215i z₃₁=-0,653062036+0,562530649i z₃₂=-0,00995070805+0,00526517793i z₃₃=-0,119928706+0,739895215i z₃₄=-0,653062036+0,562530649i z₃₅=-0,00995070805+0,00526517793i ... Für die Höhe der Periode sind keine Grenzen gesetzt, nur sind die für die höherperiodischen Attraktoren benötigten c-Werte immer schwerer zu finden.
Aber nicht jede Iteration weisst einen Attraktor auf. Wählt man c=-0,39054-0,58679i und den in Iterationsfolge 4 angegebenen Startwert, so wird man ein scheinbar regelloses Hin- und Herspringen der Werte entdecken, wie in Iterationsfolge 4 zu sehen ist.

Iterationsfolge 4:
z₀ = 0,5+0,6i z₁ =-0,50054+0,01321i z₂ =-0,140174212-0,600014267i z₃ =-0,730908311-0,418576945i z₄ =-0,0315197002+0,0250927364i z₅ =-0,390176154-0,588371831i z₆ =-0,58448398-0,127652684i z₇ =-0,0652136843-0,437568102i z₈ =-0,57775302-0,529719144i z₉ =-0,337343819+0,02530367i z₁₀=-0,277379423-0,603862073i z₁₁=-0,678250059-0,251792173i z₁₂= 0,0060838447-0,245233888i z₁₃=-0,450642646-0,58977393i z₁₄=-0,535294493-0,0552354311i z₁₅=-0,107050758-0,527655556i z₁₆=-0,657500521-0,473818145i z₁₇=-0,1827367+0,0362813547i z₁₈=-0,358463635-0,60004987i z₁₉=-0,622103669-0,156597885i z₂₀=-0,0280499225-0,391949763i z₂₁=-0,543377818-0,564801679i z₂₂=-0,414281483+0,0270114085i z₂₃=-0,219640469-0,609170652 z₂₄=-0,713386945-0,319192944i z₂₅= 0,0164968024-0,131373839i ... Eine grafische Darstellung zeigt aber, daß, ab einer bestimmten Anzahl von Iterationsschritten, sich alle diese Werte innerhalb von C auf einer Kreisbahn befinden.
Manche Iterationsfolgen zeigen selbst so keine klare Ordnung mehr.

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2. Die Iterationen zn+1=zn2+c

2. Die Iterationen z_n+1=z_n²+c