Die Juliamengen und die Mandelbrotmenge

Facharbeit im Fach Mathematik, Allgäu-Gymnasium Kempten, 1.2.1993, Jürgen Kummer

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Einleitung

Der große griechische Mathematiker Euklid glaubte, daß alles berechenbar sei und daß alle Formen in der Natur auf einige Grundformen wie Linien und Kreise zurückzuführen seien. Diese Auffassung hielt sich teilweise bis in unser Jahrhundert. Durch dieses euklidische Geometrieverständnis lassen sich jedoch die meisten natürlichen Dinge wie Wolken und Bäume nunmal nicht genau beschreiben. In dieser Facharbeit werden auch mathematische Gebilde gezeigt, deren Form sich so nicht erklären läßt.
Einer der wichtigsten wissenschaftlichen Grundsätze basiert auf demselben Gedankengang von Euklid: Nicht nur rufen gleiche Ursachen gleiche Wirkungen hervor, sondern auch ähnliche Ursachen rufen ähnliche Wirkungen hervor. Dies gilt für viele Prozesse, aber nicht für alle. Vor allem bei Prozessen, die auf Rückkopplungen basieren, d.h. die von ihrem eigenen, bisherigen Verhalten beeinflusst werden , wie z.B. beim Wetter, kann eine leicht veränderte Ausgangssituation zu einem völlig verschiedenen Ergebnis führen. Dies erschwert eine längerfristige Berechnung, oder macht sie, wie beim Wetter, völlig unmöglich. ¹
Diese Erkenntnis führte zu einem neuen wissenschaftlichen Verständnis, das einen neuen Forschungszweig schuf. Man spricht hier nicht ungerechtfertigt von der Chaos-Forschung. In dieser Facharbeit kann nur ein kleiner Ausschnitt davon, der sich auf einige solcher Phänomene aus der Mathematik beschränkt, gezeigt werden. Das mathematische Äquivalent einer Rückkopplung ist eine Iteration.

1. Was ist eine Iteration?

Eine Iteration ist eine Funktion, die immer wieder mit ihrem eigenen Ergebnis gefüttert wird, also z.B.
f(f(f(z₀)))...
Ein vorher festgelegter Startwert, z.B. z₀=2, wird in eine Funktion, z.B. f(z)=z², eingesetzt. Das Ergebnis, in diesem Fall z₁=4, wird erneut in diese Funktion eingesetzt; in diesem Fall lautet das neue Ergebnis z₂=16. Es wird theoretisch unendlich oft iteriert (d.h. eingesetzt), praktisch wird man jedoch nach einer gewissen Anzahl von Schritten ein gewisses Verhalten der weiteren Werte feststellen; im vorangegangenen Fall streben sie für immer höhere Iterationsgrade gegen ∞.
Die hier gewählte Iterationsfolge wird mathematisch folgendermaßen ausgedrückt: z_n+1=z_n²; z₀=2; n∈N₀; n→∞
∞ wird für diese Iteration mit dem Startwert z₀=2 Attraktor genannt, weil es die "Bewegung" der Ergebnisse für steigende Iterationsgrade anzieht. Dieser Attraktor gilt bei dieser Iteration für alle |z₀|>1 für z₀ ∈ C. ∞ heißt bei komplexen Zahlen unendlich weit vom Ursprung 0+0i entfernt und kann in jeder Richtung liegen. Es muß sich nicht, wie bei reellen Zahlen, in Richtung des positiven Teils der Realachse befinden. Der Betrag einer komplexen Zahl ist ihr Abstand vom Ursprung, die Werte mit |z₀|>1 stammen also aus dem Bereich außerhalb eines Kreises in der komplexen Ebene um den Ursprung mit dem Radius 1. Für |z₀|<1 wird 0 zum Attraktor, die Werte innerhalb dieses Kreises bewegen sich also auf seinen Mittelpunkt zu, sie konvergieren gegen 0. Ist |z₀|=1, liegt also der Startwert auf dieser Kreislinie, verbleibt er auch dort und wird durch das Iterieren lediglich auf ihr verschoben. Diese Kreislinie kann also als Grenze zwischen den beiden Attraktoren 0 und ∞ aufgefaßt werden.

Iterationen werden z.B. zur Nullstellensuche von Funktionen, denen mit anderen Mitteln nicht beizukommen ist (v.a. hochgradige Polynome), verwendet. Dabei wird so lange iteriert, bis sich die Iterationswerte nicht mehr verändern, d.h. der Attraktor erreicht ist. Dieser Attraktor ist dann die Nullstelle dieser Funktion. Eine solche Iteration ist das Newtonsche Näherungsverfahren, das in einer mathematischen Formelsammlung nachgelesen werden kann.

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